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合衆国の広さを一つの円で分ける──プレイフェア、1805年の「divided circle」

Sun, 12 Oct 2025 00:00:00 +0900

1805年、ウィリアム・プレイフェア（William Playfair）は、D. F. ドナン（Denis-François Donnant）の合衆国統計書を英訳し、州と領土の面積を一つの円の扇形に分けた図を加えました。図の下には “This Newly invented Method is intended to shew the Proportions between the divisions in a Striking Manner” と刻んでいます。新しく発明したこの方法で、区分どうしの比率を印象的に見せる、という一文です。

本の題は『Statistical Account of the United States of America』（London: Greenland and Norris, 1805）です。作品名のように引かれる「Statistical Representation of the United States of America」は図版の題で、書名ではありません。以下は、Lehigh 大学図書館が公開する所蔵本の画像と、Internet Archive にある Harvard 大学所蔵本の本文に沿います。

1805年の合衆国の円の図版

翻訳書に、一枚だけ加えた図

本の成り立ちは、プレイフェア自身が前書きと訳者の序に書いています。

1801年、プレイフェアが『Statistical Breviary』を出す。
パリのドナンがこれを仏訳し、合衆国の記述を書き足す。
ドナンは1802年11月付の英語の手紙を添えて、仏訳書をプレイフェアに送る。
プレイフェアは合衆国の部分を英訳し、図と献辞と巻末の通商論を加えて、1805年に出す。

仏訳書の題は『Éléments de statistique』（1802年）です。これは前書きではなく、Bellhouse 2022 の参考文献によります。

訳者の序では、訳は逐語的ではなく、分割した円（divided circle）で説明を補った、と断っています。ドナンは幾何で統計を示す自分のやり方を認めているので、改変とは受け取らないだろう、とも書きます。

D. F. ドナン著、プレイフェア英訳『Statistical Account of the United States of America』（1805）の扉

D. F. ドナン著、ウィリアム・プレイフェア英訳『Statistical Account of the United States of America』（London, 1805）の扉、Lehigh University Libraries Special Collections 所蔵／Lehigh Library Exhibits より引用（No Copyright – United States）

扉には “ILLUSTRATED BY A DIVIDED CIRCLE” と刷られています。続けて、州と東部と新しく得たルイジアナの広さの比を、新しい方法で示した、彫版して手で彩色した図だ、と説明しています。副題は “With an Addition on the Trade to America, for the use of Commercial Men” です。巻末の広告は、目次の1番目にこの図を挙げ、“a Method entirely new, distinct, and EXPEDITIOUS” と書いています。想定した読者は、商売に携わる人でした。

献辞は、トマス・ジェファーソン（Thomas Jefferson）大統領に宛てています。フランス駐在中のジェファーソンが、財政に線を使う自分の方法を認めてくれた、と書き、政府が統計の収集に力を入れるよう求めています。ジェファーソンには25部が送られました（Brinton 1939、Pritchard 2021）。

円をどう割ったか

合衆国の州と領土の面積を、一つの円の扇形の角度に割り当てた手彩色の図。州はピンク、フロリダは白、西部領土とルイジアナは緑

William Playfair, “Statistical Representation of the United States of America”（折り込み図版）、同書所収、Lehigh University Libraries Special Collections 所蔵／Lehigh Library Exhibits より引用（No Copyright – United States）

図は折り込みの図版で、画像にも折り目が写っています。データと見た目の対応は次のとおりです。数字は Lehigh の高解像度画像で読み、綴りは図のままにしました。

見た目	対応させたデータ	図の表記
円全体	合衆国の総面積	“Total Extent 1,929,000 Square Miles or 1224 Millions of Acres”
扇形の中心角	各区分の面積（平方マイル）	Virginia 169,000、Georgia 150,000 など。小さい6州は名前だけ
扇形の並び	州は面積の大きい順	右上の Virginia から反時計回りに Delaware まで。続いてフロリダ、ルイジアナ、西部領土
色（手彩色）	区分の種類	ピンク＝州、白＝East & West Florida “not yet united”、緑＝Western Territory と Louisiana
弧に沿った文字	地域のまとまり	右の緑に “WESTERN TERRITORY”、下の緑に “Newly Acquired (in 1804)” と “LOUISIANA”

Lehigh 大学図書館の展示は、3色を、州・領土・スペインが支配する東西フロリダの区別だと説明しています。ルイジアナ買収の条約は1803年4月30日の署名ですが、図の表記は “in 1804” です。

1801年の『Breviary』でプレイフェアが描いたのは、国ごとの円を並べて大きさで比べる図でした。その図の符号は別の記事で、円の面積で比べる描き方と扇形の角度で分ける描き方の違いは2種類の円の記事で扱います。この記事が扱うのは、一つの全体を扇形に分けた1805年の円です。

図の下の一文と、本文の一節

図版の題の下に、2行の文字が刻まれています。1行目が次の一文で、2行目が総面積の行です。

This Newly invented Method is intended to shew the Proportions between the divisions in a Striking Manner

新しく発明したこの方法は、区分どうしの比率を印象的に見せるためのものだ、という意味です。

本文17ページでは、図をこう説明しています。

The divided circle which represents the surface of the country, has been constructed for the purpose of shewing, in an easy and accurate manner, the proportional extent of the different provinces; and it is scarcely possible to look at it without a few important observations occurring to the mind.

各地域の広さの比を、たやすく正確に示すために作った。見れば、いくつかの重要な考えが浮かばないことはまずない、という趣旨です。

その「考え」の例も続きます。区分の大きさの差が大きすぎるので、人口がならされれば組み替えが起きる。西の領土はいずれ別々の州になる。ヴァージニアとデラウェアの比はばかげていて、このままでは済まない。図の右上の最大の州と、左端の細い線のような州のことです。

本文は図を「easy and accurate」と書き、刻字は「Striking」と書いています。正確さと印象の強さの両方を、同じ図に求めていたと読めます。巻末の通商論は、西部はルイジアナ買収の前で合衆国の5分の3、いまは3分の2の広さだと書き、西部へイギリス製品を送る会社を提案します。円の半分あまりを占める緑の扇形は、この主張を目で見せる役も持っていたと読めます。

数字を確かめると

統計学者の David R. Bellhouse（デイヴィッド・ベルハウス）は2022年に、この図の誤りを指摘しています。ニューヨークとニュージャージーを取り違えている。1805年ごろの地図と比べると、州の面積が合わない。ドナンが州ごとに挙げた縦と横の長さを、プレイフェアは掛け合わせて面積にした。州が長方形でないことは無視された、といいます。

図の左側。Massachussets、South Carolina、Maryland の扇形と、名前だけの細い6州、白い East & West Florida

同じ図版の左側を拡大したもの。Lehigh University Libraries Special Collections 所蔵／Lehigh Library Exhibits より引用（No Copyright – United States）

筆者も、Lehigh の画像で扇形の角度を測りました。中心から放射状の境界線を拾ったもので、誤差は1°ほどあり得ます。表記の値を総面積で割り、360°を掛けた角度と並べます。

区分	図の表記	表記からの角度	筆者の計測
Virginia	169,000	31.5°	約32°
Georgia	150,000	28.0°	約27.5°
Kentuckey	115,000	21.5°	約21.5°
New Jersey	105,000	19.6°	約19.5°
North Carolina	84,000	15.7°	約15.5°
Massachussets	73,000	13.6°	約13.5°
South Carolina	25,000	4.7°	約8°
Maryland	14,740	2.8°	約5°
East & West Florida	なし	—	約12.5°
Louisiana	725,000	135.3°	約111°
Western Territory	450,000	84.0°	約84°

大きい6州と西部領土は、表記にほぼ比例しています。ずれているのは、サウスカロライナ、メリーランド、ルイジアナです。ルイジアナは表記より25°ほど小さく、角度から逆算するとおよそ59万平方マイルです。

合計も閉じません。表記のある10区分を足すと1,910,740平方マイルで、総面積との差は18,260しかありません。そこにフロリダと小さい6州が入るはずですが、図はそれに約23°、12万平方マイル分ほどを割いています。円は360°で閉じるので、どこかの扇形が表記どおりには描けません。この図では、それがルイジアナに出ていると読めます。

ほかにも食い違いがあります。図に名前の出る州は14で、ペンシルベニアの名はありません。本文の要約表の直前には “Since then, the number of States has increased to sixteen” とあります。ルイジアナの725,000平方マイルも、米国国立公文書館が挙げる買収地の面積828,000平方マイルとは違います。

第三者はこの図をどう見たか

Willard C. Brinton（ウィラード・C・ブリントン）は、1939年の『Graphic Presentation』をプレイフェアに捧げています。序文には、Huntington Library でこの本をめくり、「これが扇形図（sector chart）の最初の例だ」と声を上げた場面があります。そのあとで、唯一の図の下に、あの刻字があるのに気づきます。81ページでは “one of the first sector charts” と書きつつ、1801年の『Breviary』でトルコ帝国の円が3つに分けられていたことにも触れ、そちらが最初かもしれないと添えています。

ベルハウスは、1801年の図を “An anticipation”、1805年の図を “fully-fledged pie chart” と呼び分けます。1801年の時点では、自分のしたことを十分に意識していなかった、という見方です。円グラフは部分と全体の関係を強調するときに使える、という David S. Moore の見方を引き、この図はその例だとも書いています。

Chris Pritchard（クリス・プリチャード）は2021年に、本の成り立ちと政治の文脈から見ています。州どうしの比と、国全体に対する比を示し、2年前のルイジアナ買収の効果をはっきり見せた図だ、という評価です。ジェファーソンに送られた25部のうち1部は、Humboldt に渡ったとも書いています。

三者の論点は分かれます。ブリントンは最初期の扇形図として、ベルハウスはデータの質から、プリチャードは買収の文脈から、この図を読んでいます。

使い道

この図から、可視化の仕事に持ち帰れることを挙げます。

全体を書き添える。図の下の総面積があるので、扇形を全体に対する量として読めます。
並べ順を決める。州を大きい順に回したので、ヴァージニアとデラウェアの差が一目で出ます。
色は種類に使う。3色は量ではなく、州・未編入の土地・領土の区別です。
数字を扇形に書く。表記があるから、200年後の読者が角度と照らし合わせて、ずれを見つけられます。
描く前に合計を確かめる。部分の合計が全体と合わないと、ずれはどこかの扇形に出ます。

プレイフェアは、この図に「Striking」と「accurate」の両方を求めました。印象の強さは、色と並べ順と大きな緑の扇形で出ています。正確さは、数字を一つずつ確かめないと分かりません。円グラフを描くときは、この二つを別々に点検します。

参考・出典

一次情報

D. F. Donnant, tr. William Playfair, Statistical Account of the United States of America, London: Greenland and Norris, 1805（Harvard 大学所蔵本、Internet Archive）. archive.org / OCR 全文
Lehigh University Libraries, Special Collections, “Statistical Account of the United States of America."（所蔵本の扉と図版の画像）. Lehigh Library Exhibits
Lehigh University Library, “At a Glance: Selected Works in the History of Data Visualization,” Case One: Playfair. 展示ページ
U.S. National Archives, “Louisiana Purchase Treaty (1803).” archives.gov

第三者評価

Willard C. Brinton, Graphic Presentation, New York: Brinton Associates, 1939（序文 pp.11–12、p.81）. archive.org
David R. Bellhouse, “William Playfair’s Statistical Graphs,” CMS Notes, 54(1), February 2022. notes.math.ca
Chris Pritchard, “Life of Pie: William Playfair and the Impact of the Visual,” Mathematical Association Presidential Essay No.4, July 2021. PDF

国の広さは円の面積、税の重さは点線の向き──プレイフェア『The Statistical Breviary』第1図

Sun, 12 Oct 2025 00:00:00 +0900

1801年、ウィリアム・プレイフェア（William Playfair, 1759–1823）は『The Statistical Breviary』の第1図で、ヨーロッパ諸国の広さを円の面積で描きました。人口と歳入は、円の左右に立てた同じ目盛りの縦線で示しています。2本の縦線の上端は点線で結ばれます。点線がどちら向きに上がるかで、人口に比べて税が重いかを示すと、プレイフェアは本文に書いています。

出典は同書の序文と、図の読み方を説いた pp.13–16、国別の表です。本文は Internet Archive にあるボドリアン図書館本で読みました。このスキャンは折り込み図版が正しく撮れていないため、図は1802年の仏訳版で示します。円の分け方は1801年と1805年の2つの円を比べた記事が、1805年の図は1805年の合衆国の円グラフの記事が扱います。

『The Statistical Breviary』第1図の図版の写真

仏訳版の第1図。左端の大きなロシアから右端の連合州まで、広さの順に並んだ円の左右に赤と黄の縦線が立ち、上端が点線で結ばれている

William Playfair 原図、Adam 彫版（仏訳版、1802）の図版全体。David Rumsey Map Collection, David Rumsey Map Center, Stanford Libraries／Internet Archive より引用（CC BY-NC-SA 3.0）

表の補遺から生まれた4枚の図

序文によると、きっかけは他人の本の手伝いでした。ベティヒャー（Boetticher）の『統計表』の英語版編者に、刊行後の変化を補う表を頼まれたのです。その作業の途中で、こう気づいたと書いています（序文 p.3）。

it occurred to me, that tables are by no means a good form for conveying such information

表は、こうした情報を伝える形としてまったく良くない、という趣旨です。p.4 では、割合と大きさが問題になるときは、目に訴えるのが最もよく、最も手早いと述べます。

本はロンドンで1801年に出ました。Chris Pritchard（クリス・プリチャード）によると全64ページで、大半は国別の表、図版は4枚です。4枚の中身は p.14 に並んでいます。

第1図：フランス革命前の欧州
第2図：リュネヴィル条約の講和で予定された欧州
第3図：欧州の首都の人口
第4図：ヒンドゥスタンの国々

第1図の原文は「Exhibits the powers of Europe as they were previous to the French Revolution.」です。描かれているのは1801年当時ではなく、革命前の欧州です。1801年はフランス革命戦争のさなかで、2月のリュネヴィル条約後の姿は第2図が描きます（Pritchard 2021）。

線を使った図は、プレイフェアにとって初めてではありません。p.15 で、約15年前に商業と財政に線を使ったと書いています。『The Commercial and Political Atlas』のことです。『The Statistical Breviary』は翌1802年、ドナン（D.-F. Donnant）の仏訳でパリから出て、図版も仏語で彫り直されました。

読み方は、本文の2ページに書いてある

第1図の中に凡例はありません。読み方は本文の pp.13–14 にまとめてあります。縦線についての核心は、次の一節です。

The yellow lines on the right of each nation represent the revenue in millions of pounds sterling, measured also upon the same divided scale with the population.

右の黄色い線は歳入を百万ポンド単位で表し、人口と同じ目盛りで測る、という意味です。左の赤い線は人口を百万人単位で表し、目盛りは1区切りが100万で「両端に」数字が振ってある、と直前に書いています。

人口と歳入は、同じ1本の目盛りで測ります。 数字が図の左右両端にあるのは、どちらからも読めるようにするためです。左が人口用、右が歳入用という二重の軸ではありません。

本文の説明を、データと見た目の対応表にすると次のようになります。例はフランス（革命前）で、数値は p.33 の表によります。

データ	見た目	例：フランス
国の広さ（平方マイル）	円の大きさ。左から広い順に並ぶ	円
広さの数値	円の中の数字	149,000
人口（百万人）	円の左に立つ赤い縦線の高さ	26
歳入（百万ポンド）	円の右に立つ黄色い縦線の高さ。人口と同じ目盛り	19
人口に対する税の重さ	2本の縦線の上端を結ぶ点線の、上がる向き	右下がり
人口密度（1平方マイルあたりの人数）	円の真上の数字	174
海の国か、陸の国か	円の色。緑が海の国、淡い赤が陸の国	—

円の上の数字は人口密度で、歳入ではありません。本文も「5 over Russia, and 14 over Sweden」と例を挙げています。フランスの174を歳入と読むと、表の1,900万ポンドと大きく食い違います。

仏訳版の図では、円が青と赤に塗り分けられています。フランス、スペイン、ブリテンなどが青、ポーランドやプロイセンなどが赤です。英語版の本文で「緑」とされた海の国が、仏訳版では青になったと読めます。

ロシアとトルコの円だけは、中が分けられています。ロシアは内側の円がヨーロッパ領、外側の環がアジア領、トルコは大陸ごとの扇形です。本文には、この分割の説明がありません。ここでは色が、海か陸かではなく大陸を表しています。1枚の中で、色が二通りの意味で使われていると読めます。

ロシア帝国とトルコ帝国の円

国の形を、同じ円にそろえる

なぜ国を円で描いたのか。プレイフェアは p.15 で理由を書いています。

for where forms are not similar, the eye cannot compare them easily nor accurately. From this circumstance it happens, that we have a more accurate idea of the sizes of the planets, which are spheres, than of the nations of Europe which we see on the maps

形が似ていなければ、目は大きさを簡単にも正確にも比べられない。だから私たちは、地図で見る欧州の国々より、球である惑星の大きさのほうを正確に知っている、という趣旨です。序文 p.6 では、目は似た形を見ると思わず大きさを比べてしまう、とも書いています。

円の大きさの決め方について、本文は「面積に比例」とは書いていません。序文の言い方は「proportional circles」です。仏訳版の図版（上の画像、横2000px）で筆者が測ると、ロシアの円の直径は約410px、フランスは約68pxでした。フランスの直径を1とすると、面積比例ならロシアは約5.6、直径比例なら約31です。測った比は約6なので、直径はおおよそ広さの平方根に比例しています。目測の誤差を含めても、面積比例と見てよい値です。

円は広さの順に左から右へ並びます。p.7 でプレイフェアは、この図を見ればロシアとトルコの大きさに驚くはずだと書きます。この500年、世界を動かしてきた国々の小ささにも、と続けます。

描かないものも決めています。広さ、人口、歳入を一つの図にまとめたのは、それが正確に測れる力の土台だからだ、と p.15 で書きます。政体や人の徳も国の強さを左右するが、図には表せない、と続けます。

点線の向きは「1人1ポンド」で分かれる

点線の説明は、p.13 から p.14 へまたがっています。

The dotted lines drawn between the population and revenue, are merely intended to connect together the lines belonging to the same country. The ascent of those lines being from right to left, or from left to right, shews whether in proportion to its population the country is burdened with heavy taxes or otherwise.

点線は同じ国の2本の線をつなぐためのものだ。そして、点線がどちら向きに上がるかで、人口に比べて税が重い国かどうかが分かる。前半だけ読むと、点線はただのつなぎです。後半の文で、点線に意味を持たせています。

人口と歳入が同じ目盛りにあるので、点線が右上がりになるのは、歳入の数字が人口の数字を上回るときです。つまり1人あたりの税が1ポンドを超える国です。本文の表で確かめます（1ポンド＝20シリング）。

国	人口（百万人）	歳入（百万ポンド）	表の1人あたりの税	点線
ロシア	25	7.3	6シリング8ペンス	右下がり
フランス	26	19	14シリング8ペンス	右下がり
スペイン	11	14	1ポンド5シリング5ペンス	右上がり
ブリテンとアイルランド	14	27	1ポンド18シリング3ペンス	右上がり

数値は pp.19, 33, 35, 37 の表によります。図で点線が右上がりなのは、スペイン、ブリテンとアイルランド、ポルトガル、連合州の4か国だけです。表で1人あたりの税が1ポンドを超えるのも、同じ4か国です。

ポーランド、フランス、スペイン、ブリテンとアイルランドの部分。フランスの点線は右下がり、スペインとブリテンは右上がりで、ブリテンがいちばん急に上がっている

William Playfair 原図、Adam 彫版（仏訳版、1802）の第1図から部分を切り出し。David Rumsey Map Collection, David Rumsey Map Center, Stanford Libraries／Internet Archive より引用（CC BY-NC-SA 3.0）

プレイフェアが上がる「向き」だけを言っている点は大事です。共通の目盛りの上では、向きは「1人1ポンド」を境にした二択として正しく働きます。本文の説明は、そこまでを約束していると読めます。

傾きの急さは別の話です。2本の縦線は円の左右の端に接して立つので、横の間隔は円の直径です。点線の傾きは、歳入と人口の差を直径で割った値になります。ロシアは差が大きいのに、円が大きいので点線はゆるやかです。ブリテンは差が13で円が小さいので、点線は急に上がります。傾きの急さには、国の広さが混ざります。

第三者はこの図をどう見たか

David Rumsey Map Collection の仏訳版の目録は、Akerman と Karrow の評を引いています。国の広さの円、トルコの扇形、人口と税の線という「a creative combination of different visual forms」だ、という見方です。

傾きを批判したのが Pritchard（2021）です。新しさを、面積比例の円、ロシアとトルコの分割、縦線とそれを結ぶ傾いた線の3つに整理したうえで、こう書きます。

a direct comparison of these lines, one country to another, is not possible because each gradient is affected by the radius (and hence the area of the country)

傾きは円の半径、つまり国の広さに左右されるので、国どうしで比べられない、という指摘です。Jonathan Sachs（ジョナサン・サックス）も注で同じ点を、Funkhouser（1937）らの名を挙げて指摘しています。なお Pritchard は人口を左、予算を右の目盛りで読むと書いており、本文の「the same divided scale」と食い違います。

Sachs の主な論点は思想史です。不ぞろいな国土を「uniformly scaled circles」に置き換えた点を重く見ます。富を歳入として量で定めるなら、富は領土の広さと同じではない。この図を、領土と人口こそ富だとする人々への反論として読んでいます。

The Irish Times の Juliana Adelman（2018）は意図に注目し、プレイフェアが最も見せたかったのは、狭い国土と少ない人口で多くの歳入を上げる連合王国の優位だと書きます。そのうえで、海外の植民地を勘定に入れていない、と付け加えています。

使い道

第1図から持ち帰れることは、4つあります。

1つめは、形をそろえてから大きさを比べることです。地図のままでは国の広さは比べにくい。プレイフェアは同じ円に置き換え、比べる作業を目に任せました。

2つめは、2つの量を同じ目盛りに載せると、量どうしの関係が読めることです。単位の違う人口と歳入を同じ数字の目盛りに載せたので、「1人1ポンド」という境目が図の上に生まれました。

3つめは、傾きで派生量を見せるなら、横の間隔を一定にすることです。第1図では間隔が円の直径というデータそのもので、税の重さに国の広さが混ざりました。1人あたりの税を見せたいなら、その値を直接描くほうが確かです。

4つめは、読み方を図のそばに置くことです。第1図の読み方は本文にしかありません。図だけを切り出すと、円の上の人口密度を歳入と読み違えかねません。

プレイフェアは p.16 で、初めて数分眺めた人の心に何が残るかが最大の基準だ、と書いています。筆者の数え方では、第1図は面積、人口、歳入、人口密度、海陸の別、税の重さの6つを、その数分で見せようとした図です。点線の傾きは、その詰め込みが生んだ、扱いの難しい部分だと読めます。

参考・出典

一次情報

William Playfair, The Statistical Breviary; Shewing, on a Principle Entirely New, the Resources of Every State and Kingdom in Europe, London, 1801（ボドリアン図書館本、Google によるデジタル化）. Internet Archive / 全文テキスト / Google Books
William Playfair（D.-F. Donnant 訳）, 仏訳版（パリ、1802）の第1図「Carte statistique représentant l’étendue, la population et les revenus des principales nations de l’Europe」. David Rumsey Map Collection. Internet Archive の写し

第三者評価

Chris Pritchard, “Life of Pie: William Playfair and the Impact of the Visual,” Mathematical Association, Presidential Essay No.4, July 2021. PDF
Jonathan Sachs, “1786/1801: William Playfair, Statistical Graphics, and the Meaning of an Event,” BRANCH. 記事
Juliana Adelman, “The man with a finger in many pie charts,” The Irish Times, 2018-03-05. 記事
David Rumsey Map Collection の仏訳版第1図の目録（Akerman & Karrow の評を引用）. Internet Archive の写し